Коло змінного струму з активним опором та ємністю

 В дійсності будь-який конденсатор має втрати, тобто активною потужністю. Тому реальний конденсатор можна представити у вигляді послідовного з’єднання активного опору R та ємнісного опору Х_С (рис. 37) .

Рис.37

Активний опір визначається потужністю втрат R=P/I² . Накреслимо векторну діаграму: при цьому вектор активної складової напруги збігається по фазі зі струмом, а вектор реактивної складової напруги відстає від струму на кут 90⁰ . З векторної діаграми видно, що загальна напруга U на затискачах конденсатора відстає по фазі струм І на кут φ.

 Миттєві значення Векторна діаграма Діючі значення

  

Трикутник опорів(рис. 39)

 Повний опір-  ,  , 

Ємнісний опір-  

Струм в колі  Рис.39

Трикутник потужностей(рис. 40)

  -коефіцієнт потужності 

Активна потужність кола 

Реактивна потужність кола 

Повна потужність кола 

Приклад 9 Рис. 40

У коло змінного струму підключений резистор, опір якого R=60 Ом та послідовно з ним конденсатор. Рівняння напруги на затискачах кола u=707sin(314t-53°) В. Скласти рівняння миттєвого значення струму. Визначити ємність, частоту, амплітуду струму та напруги, діюче значення струму та напруги. Знайти активну, реактивну та повну потужності кола. Накреслити схему кола та побудувати векторну діаграму струму та напруг у масштабі M_U=100 В/см.

Розв’язання

1. Накреслимо схему кола:

3. Діюче значення напруги U=U_m/  =707/  =500 В.

4. Частота f=w/(2·p)=314/(2·3,14)=50 Гц.

5. Повний опір кола Z=R/cosj=60/cos53°=60/0,6=100 Ом.

6. Ємнісний опір кола X_C=  =√100² -60² =80 Ом.

7. Ємність конденсатора C=1/(wX_C)=1/(314·80)=39,8 мкФ.

8. Знаходимо діюче значення струму I=U/Z=500/100=5 А.

9. Амплітуда струму I_m=  ·I=  ·5=7,05 А.

10. Рівняння миттєвого значення струму i=I_msinwt=7,05sin314t

11. Напруга на активному опорі кола U_a=I·R=5·60=300 В.

12. Напруга на конденсаторі U_С=I·X_С=5·80=400 В.

13. Активна потужність кола P=I²R=5²·60=1500Вт.

14. Реактивна потужність Q=I²·X_C=5²·80=2000вар.

15. Повна потужність S=UI=500·5=2500В·А.

16. Будуємо векторну діаграму (рис. 41)

Послідовне з’єднання активного, індуктивного та ємнісного опору

Рис. 39

Якщо до нерозгалуженого кола з активним опором R, індуктивністю L та ємністю C (рис. 38) протікає синусоїдний струм і=І_m ·sin ωt, то миттєве значення прикладеної до кола напруги u=u_A+ u_L+u_C. Діюче значення напруги на затискачах кола отримують методом додавання векторів Ū=Ū_а+Ū_L+Ū_C.

 Побудуємо векторні діаграми для наступних випадків:

1. Індуктивний опір більше ємнісного  ,тоді напруга .

При цьому загальна напруга випереджає по фазі струм на кут  і коло має активно-індуктивний характер Рівняння миттєвого значення загальноїнапруги має вигляд u=U_m·sin(ωt+φ).

2.  Ємнісний опір більше індуктивного , тоді напруга .

Загальна напруга відстає по фазі від струму на кут  і коло матиме активно- ємнісний характер (рис. 42) .

Рівняння миттєвого значення загальноїнапруги має вигляд

u=U_m·sin(ωt-φ).

Рис.42

3. Ємнісний опір дорівнює індуктивному ,тоді напруги .

 Загальна напруга збігається за фазою зі струмом, кут φ=0, коло має чисто активний характер (рис. 43) і цей режим

називається резонанс напруг.

Рис.43

Діюче значення загальної напруги визначають за векторною діаграмою 

Трикутник опорів

Якщо сторони трикутника напруг розділити на струм І , отримаємо трикутник опорів (рис. 44)

 Повний опір-  ,  

Струм в колі 

Рис.44

Трикутник потужностей

 

коефіцієнт потужності ,тоді

 Рис.45

Приклад 10

Резистор з опором R₁=50 Ом, конденсатор ємністю C=31,8 мкФ та котушка з параметрами R₂=30 Ом, L₂=127,5 мГн з’єднані послідовно та підключені до мережі змінного струму частотою f=50 Гц, показання вольтметра U=200В.

Визначити:

1. Повний опір кола Z та котушки Z_К;

2. Напругу на затискачах кола U та на котушці U_К;

3. Струм у колі I;

4. Повну S, реактивну Q потужності кола;

5. Коефіцієнт потужності кола cosj;

6. Накреслити схему кола с приладами для вимірювання струму, напруги та активної потужності;

7. Побудувати векторну діаграму струмів та напруг у масштабі M_U=20 В/см;

8. Визначити, при якій ємності в даному колі виникає резонанс напруг.

Розв´язання

1. Накреслимо схему колa

Рис.46

2. Ємнісний опір конденсатора X_C=  =  =100Ом.

3. Індуктивний опір котушки X_L2=2pfL=2·3,14·50·127,5·10^-3=40 Ом.

4. Повний опір кола Z=  =

=Ö(50+30) ²+(40-100)²=100 Ом

5. Повний опір котушки Z_К=  =  =50 Ом.

6. Повний струм у колі I=U/2=200/100=2 А.

7. Напруга на затискачах кола U=IZ=2·100=200 В.

8. Напруга на активному опорі U_a1=I·R₁=2·50=100В.

9. Напруга на конденсаторі U_C=I·X_C=2·100=200 В.

10. Напруга на активному опорі котушки U_a2=I·R₂=2·30=60 В.

11 Напруга на індуктивному опорі котушки U_L2=IX_L2=2·40=80 В.

12. Загальна напруга на котушці U_К=  =Ö60²+80²=100 В.

13 Реактивна потужність Q= I²(X_L2- X_C)=2²·(40-100)=-240 вар.

14. Повна потужність кола S=UI=200·2=400 В·А.

15. Активна потужність поля P=I²(R₁+R₂)=2²(50+30)=320Вт

16. Коефіцієнт потужності cosj=P/S=320/400=0,8.

Рис.47

 Коливальний контур

Коливальним контуром називається електричне коло, яке складається з iндуктивностi та ємностi і має малай активний опiр, менший, нiж подвiйний хвильовий опiр контуру, що забезпечуе обмiн енергiєю мiж електричним i магнiтним полями.

Фiзичний процес в iдеальному коливальному контурi.Розглянемо фiзичнi процеси в колi, зображеному на рис. 48 при двух положеннях перемикача. 

Рис.48

Якщо перемикач знаходиться в положеннi 1,то конденсатор заряджається вiд енергiї джерела ЕРС. При цьому в колi є зарядний струм, величина якого поступово эменшуеться i припиниться, коли конденсатор повнiстю буде заряджено,

тобто напруга на його обкладках u_cдорiвнюватиме напрузi джерела електричної енергії: u_с=U. Алгебраїчна сума цих двох напруг дорiвнюе нулю, отже, i струм дорiвнює нулю. Зарядний струм

i_a =  , де R— опiр лiвого контуру.

У процесi заряду конденсатора в його електричному полi накопичується енергiя

W_С = 
тобто конденсатор стає джерелом електричної енергiї.
Якщо перемикач знаходиться в положеннi 2,тобто до зарядженого конденстора пiдключено iдеальну котушку iндуктивностi, то конденсатор почне розряджатися, i в правому контурi вникне розрядний струм‚ за рахунок енергiї зарядженого конденсатора. З виникненням розрядного струму в правому контурi у магнiтному полi котушки iндуктивностi поступово накопичується енергiя, тобто поступово енергiя електричного поля конденсатора переходить у магнiтне поле котушки.
Якщо припустити, що контур iдеальний, тобто його активний опiр R=0 дорівнює нулю, то пiсля повного розряду конденсатора вся енергiя його електричного поля зосередиться в магнiтному полi котушки. Це означає, що наприкiнцi розряду конденсатора магнiтне поле i його енергiя досягає максимуму W_L=Ll²_m/2. Отже, в цей момент у контурi струм поступово досягає максимуму.
Розглянутий фiзичний процес зображено на графiку рис. 49 (перша чверть перiоду).
Згiдно з графiком, u_cзменшується до нуля, а струм досягає максимуму. На початку першої чвертi перiоду швидкiсть змiни струму велика, а тому велика i величина ЕРС самоiндукцiї. У кiнцi чвертi перiоду швидкiсть зміни струму зменшується до нуля, а тому i ЕРС самоiндукцiї зменшуеться до нуля. ЕРС знаходиться в протифазi з u_c(за законом Ленца). 

Рис.49
На початку другої чвертi перiоду струм, не пiдтриманий нiякою напругою (u і е_Lдорiвнюють нулю), зменшується і в кінці чверті дорівнює нулю. Проте тільки струм почне зменшуватися, зменшується й магнiтне поле котушки, а при змiнi магнiтного поля в котушцi iндуктивностi iндукується ЕРС самоiндукцiї однакового напряму з струмом. Ця ЕРС пiдтримує струм, і тому вiн зменшується поступово.
Виникнення в котушцi ЕРС самоiндукцiї однакового напряму зі струмом означає, що котушка iндуктивностi стає джерелом електричної енергiї, яка була накопичена в її магнiтному полi в першiй чвертi перiоду. На кiнцях котушки виникае рiзниця потенцiалiв. Конденсатор почне заряджатися вiд цієї ЕРС самоiндукцiї, але з протилежною полярнiстю. Крива u_cу другiй чвертi перiоу вiд’ємна, тобто напрям u_cзмiнився.
У кiнцi другої чвертi перiоду конденсатор знову повнiстю заряджено, тобто енергiя магнiтного поля котушки перейшла в електричне поле конденсатора.
Струм у контурi в другiй чвертi перiоду, який є зарядним, в кiнцi чвертi перiоду зменшується до нуля. При цьому нижня обкладка конденсатора з недостачею електронiв дiстає позитивний потенцiал, а верхня обкладка з надмiром електронiв — негативний.
У кiнцi другої чвертi перiоду знову конденсатор заряджено, напруга u_c— максимальна, струм дорiвнюе нулю, ЕРС е_L теж максимальна, тобто положення в контурi те саме, що й на початку першої чвертi. Тому в третiй чвертi конденсатор почне розряджатися, i фiзичнi процеси, якi вiдбувалися в першiй і другiй чвертях перiоду, повторюватимуться в третiй i четвертiй чвертях. Отже, в цьому
контурi вiдбуваеться беперервне коливання енергiї між електричним і магнiтним полями. Таке коло називаеться коливальним контуром.
Такi коливання називаються вiльними, оскiльки вони вiдбуваються без стороннього джерела електричної енергії, а за рахунок енергiї, внесеної в електричне поле конденсатора. Енергiю можна також внести в магнiтне поле котушки, наприклад, через взаємоiндукцiю з сусiдньої котушки, яка живиться вiд джерела ЕРС. При розмиканнi кола з котушкою L₁у котушцi коливального контуру iндукується ЕРС взаємоіндукції від якої конденсатор заряджається, тобто енергія магнітного поля перетворюється в електричне поле конденсатора, пiсля чого виникають вiльнi коливання в контурi.
В iдеальному контурi, тобто при вiдсутностi активного опору, енергiя в контурi не втрачається, тому коливання будуть незатухаючими. Амплiтуда коливального струму протягом часу не зменшується (рис. 50).

Рис.50

При розрядi конденсатора за рахунок енергiї розрядного струму виникає ЕРС самоiндукцiї, яка протидiє напрузi на обкладках конденсатора u_ci дорiвнює за величиною е_L. Експериментально також доведено, що в коливальному контурi струм є синусоїдним.
Перiод та частота вiльних коливань. Визначимо кутову частоту вiльних коливань з рiвняння енергiї електричного
іматнiтного полiв:

СU²_m/2=Ll²_m/2

Пiдставимо в цi рiвняння значення амплiтуди струму I _mзнайденого за законом Ома. При розрядi конденсатора на iндуктивному опорi котушки
I _m=  ,
де ω₀— кутова частота струму вiльних коливань. Тодi
 = 

Після скорочення маємо

С=  звiдки ω²₀ LС=1 або ω₀= 

Виразимо ω₀ через частоту вiльних коливань контуру

ω₀ = 2 πf₀ і визначимо f₀= 

Пiдставивши сюди значения ω₀, дiстанемо f₀= 

Період вiльних коливань Т₀ =  . Тому Т₀ = 2 π  .

Ця формула має такий фiзичний смисл: iз збiльшенням L і Сперiод вiльних коливань збiльшується, а частота зменшується. Частоту вiльних коливань часто називають частотою власних коливань контуру.
З виразу  знаходимо 
де ω₀L=Х_L . Це означає, що при струмi в контурi з частотою вiльних коливань iндуктивний опiр Х_L дорiвнює ємнiсному опору Х_С.

Хвильовий опір коливального контуру. Розглянемо рiвняння енергiї електричного та магнiтного полiв у контурі  . Пiсля скорочення маємо СU²_m=LI²_m
Звiдси і  , або I_m = 

Це є закон Ома для струму вiльних коливань контуру, вираз  є опором.

Величина  називається хвильовим або характеристичним опором контуру і позначається Z_хв:

Z_хв= 

Пiдставимо у формли реактивних опорiв Х _L і Х_С значення кутової частоти вiльних коливань ω₀ = 1/  .Тодi Х _L0= ω₀ L= L/  або Х _L0=  .

Отже, Х_L0= 

Знайдемо тепер Х_С0: Х _С0=  або Х_С0= 

Таким чиномхвильовим опоромназивається індуктивний i ємнісний опори в коливальному контурі при частотi вiльних коливань.

 Реальний коливальний контур. Реальний коливальний контур має активний опiр, тому виникнення в контурi вiльних коливань енергiї заздалегiдь зарядженого конденсатора поступово витрачається безповоротно, перетворюючись, в основному, в теплову енергiю.
Внаслiдок втрати енергiї в контурi поступово зменшуеться її запас, знижується напруга на обкладках конденсатора при чергових заряджаннях i амплiтуда коливального струму поступово зменшується до нуля. Отже, коливання в контурi є затухаючими (рис.51). Наявнiсть активного опору в контурi також впливає на перiод і частоту вільних коливань, тому що чим більший активний опiр контуру, тим бiльший час розряду та заряду конденсатора, а це є наслiдком

Рис.51

зменшення швидкостi руху вільних електронiв у контурi в силу протидiї активного опору напрямленому руху електронiв при розрядi і зарядi конденсатора.
Кутова частотавiльних коливань в реальному контурі
ω₀= 

Звiдси випливає, що при R=0 ω₀=1/  ,а це відповiдає ω₀ для iдеального контуру. Із збiльшенням Rдо величини 2  значения ω₀ зменшуватиметься.

Якщо R=2  , то пiдставивши це значения у формулу (9.8), дістанемо

ω₀=  =0

ω₀=0 означає, що коли R = 2  , то вiльнi коливання в контурi не виникають.
Це пояснюеться тим, що при такiй і бiльшiй величинi активного опору під час першого розряду конденсатора вся енергiя витрачаеться на активному опорi контуру безповоротно, перетворюючись у теплову енергiю. Такий розряд називається а п е р і о д и ч н и м. Тодi контур не є коливальним і називається аперiодичним контуром.
Для виникнення вiльних коливань у контурi необхiдно двi умови:

1. Наявнiсть деякої енергiї в електричному полi конденсатора або в магнiтному полi котушки iндуктивностi .

2. Малий активний опiр контуру, менший нiж подвiйний характеристичний опiр контуру: R<2 

Щоб дiстати незатухаючi коливання в реальному контурi, треба протягом кожного перiоду поповнювати втрачену енергiю на активному опорi контуру в такт з частотою вiльних коливань. Це здiйснюється за допомогою електронних генераторiв. Такi генератори виробляють синусоїдний змiнний струм високих частот в широкому дiапазоні частот залежно вiд параметрiв коливального контуру L i С. Частоту струму в контурах легко змінювати, якщо включено конденсатор змiнної ємності або котушка зi змiнною iндуктивнiстю.

Затухання та добротнiсть контуру. У реальному коливальному контурi вiльнi коливання затухають тим швидше, чим бiльший активнний опiр Rконтуру.
Для характеристики iнтенсивностi затухання вiльних коливань введено поняття затухання контуру:

Затуханням контуру називається величина, яка характеразує iнтенсивнiсть затухання коливань у контурi.
На практицi часто застосовують величину, обернену до затухання, яка називається д о б р о т н і с т ю контуру або якiстю контуру:
 або 

Чим бiльше добротнiсть контуру, тим менш iнтенсино затухають коливання в контурi.
Добротнiстю контуру називають величину, яка характеризує тривалiсть вiльних коливань у контурi.
Резонанс напруг

Суть резонансу напруг. При аналiзi процесiв у коливальному контурi було доведено, що коли в контурі проходить струм з частотою власних коливань контуру, то iндуктивний опiр дорiвнює ємнiсному опору: Х_L= X_С. Розглянемо коливальний контур, пiдключений до генератора, який подає в контур струм з частотою власних коливань контуру  =  . Тодi в колi виникають вимушенi коливання, при яких Х_L = Х_С i Х = Х_L- Хс = 0. Реактивнi опори кола повнiстю компенсують один одного, i в колi рiзко зростає величина струму, випливає явище резонансу напруг.

Резонанс напруг – це режим який характеризується максимальним струмом в колі, який збiгається за фазою з напругою на затискачах кола і надходить вiд генератора змiнного струму та різким зростанням напруг на реактивних елементах, які можуть перевищувати напругу на затискачах кола.

Умови виникнення

1. Наявність послідовного з’єднання R, індуктивності L, ємності C.

2. Рівність реактивних опорів кола 

3. Рівність частоти генератора та частоти вільних коливань 

4. Малий активний опір, менший за подвійний хвильовий

Умови отримання

1. Змінюємо частоту напруги живлення

2. Змінюємо частоту власних коливань за рахунок зміни індуктивності або ємності кола.